27 exercícios de Matemática Básica

a)

O total da produção nos três dias foi de 10 379 laranjas.

b) 1 140 laranjas.

O dia de maior produção foi terça-feira, com 4 127 laranjas e, o de menor produção foi quarta-feira, com 2 987 laranjas. A diferença é o resultado da subtração entre estes valores.

Portanto, da terça-feira para quarta-feira houve uma queda na produção de 1 140 laranjas.

Resposta: Pagará a mais R$ 306,00.

Estratégia: subtrair o total a prazo do preço à vista.

Total a prazo
Para o pagamento a prazo devemos multiplicar as parcelas para conhecer o total.

Diferença entre os dois valores

Portanto, optando pelo sistema a prazo, Elisa pagará R$ 306,00 a mais do que se optasse pelo sistema à vista.

Resposta correta: c) 16.

Para determinar a quantidade de cadeiras por fileira devemos dividir a quantidade total de lugares no cinema, 304, pelo número de fileiras, 19.

Portanto, utilizando 19 fileiras, cada fileira terá 16 cadeiras.

Resposta: 45 crianças.

Se 2/5 das crianças têm mais de 12 anos, 3/5 têm menos de 12 anos, pois

Para calcular quanto é 3/5 de 75, fazemos

Desta forma, 45 crianças têm menos de 12 anos.

Resposta: Roberto irá limpar a maior parte do campinho.

Resolução

Para determinar quem irá limpar a maior parte do campinho, devemos descobrir que parte Maurício irá limpar. Para comparar, as frações devem ter os mesmos denominadores.

Estratégia: subtrair da fração que representa o total da área do campinho, da fração (parte) que Carlos e Roberto já limparam, a parte que sobrar é a parte de Maurício.

Para somar as quantidades que Carlos e Roberto cortaram, devemos igualar os denominadores das frações. Para isso, determinamos o menor múltiplo comum entre 5 e 4 fazendo a fatoração.

O novo denominador das frações será, 20.

Para encontrar os numeradores das frações equivalentes, dividimos 20, que é o MMC, pelo denominador de cada fração original, e multiplicamos pelos numeradores.

A fração equivalente a de Carlos, será

Assim, o novo numerador será 4, e a fração será:

A fração equivalente a de Roberto, será

Assim, o novo numerador será 10, e a fração será:

Ao todo. Carlos e Roberto já cortaram

A fração que representa todo o campinho é 20/20

Desse modo, restam para Maurício limpar

Com as três frações com denominadores iguais, podemos comparar e descobrir de quem é a maior.

Assim, Roberto irá limpar a maior parte do campinho.

Resposta: 2 032.

Os Jogos Olímpicos Internacionais acontecem a cada 4 anos e os Jogos Universitários Gerais a cada 3 anos. Escrevendo os anos em que acontecerão as próximas edições, temos:

Jogos Olímpicos: 2020, 2024, 2028, 2032
Jogos Universitários: 2020, 2023, 2026, 2029, 2032

Vemos que o próximo ano em que os dois eventos ocorrerão, simultaneamente, será 2032.

Para determinar este ano fazemos o Menor Mínimo Comum (MMC) entre 3 e 4, que são os intervalos de tempo para cada evento.

Para calcular o MMC, devemos fatorar 3 e 4, depois, multiplicamos os divisores.

Como o MMC entre 3 e 4 é 12, o próximo ano em que os dois eventos irão acontecer simultaneamente será:

2020 + 12 = 2032

Resposta: 1 024 antepassados.

Como estamos considerando 20 anos para cada geração, em 200 anos, teremos 10 gerações.

1ª geração passada: 2 pessoas (pais)
2ª geração passada: 4 pessoas (avós)
3ª geração passada: 8 pessoas (bisavós)

Queremos um modo de determinar quantos antepassados há em uma determinada geração. No caso da questão, a décima.

Fatorando as respostas para as primeiras 3 gerações, temos:

Expandindo este raciocínio, calculando uma potência de base 2, onde o expoente representa a geração que procuramos, determinamos a geração.

Desta forma, para a décima geração, temos:

Portanto, apenas na décima geração passada, havia 1 024 antepassados.

Para transformar as frações em números decimais, devemos dividir o numerador pelo denominador.

A: 3/4 = 0,75
B: 4/5 = 0,8
C: 5/8 = 0,625
D: 6/8 = 0,75

Em ordem crescente:
0,625
0,75 e 0,75
0,8

a) Na segunda posição, temos que os atletas A e D estão empatados, isso porque as frações 3/4 e 6/8 são equivalentes, representam a mesma quantidade, pois são frações equivaçentes.

Em relação ao primeiro colocado:

0,8 - 0,75 = 0,05

b) A prova completa é representada em fração, quando o numerador e igual ao denominador. Para cada atleta temos:

A: 4/4 = 1,0
B: 5/5 = 1,0
C: 8/8 = 1,0
D: 8/8 = 1,0

Da posição considerada, até chegar ao final faltam, para cada atleta:

A: 1,0 - 0,75 = 0,25
B: 1,8 - 0,8 = 0,2
C: 1,0 - 0,625 = 0,375
D: 1,0 - 0,75 = 0,25

Resposta: R$ 41,93.

O preço de quatro camisas:

Dividindo em três parcelas:

Sendo uma dízima periódica, faremos uma aproximação.

Se o período for maior que 5, aproximamos para 41,94.
Se o período for menor que 5, aproximamos para 41,93.

O período, parte que se repete, é 3. Como é menor que 5, aproximamos o preço da parcela para R$ 41,93.

Resposta: A diferença será de R$ 78,10.

1º passo: conhecer o rendimento do investimento no sistema de juros simples, nos Títulos do Tesouro Nacional. Este rendimento são os juros.

Dados:
Sistema de juros simples;
Taxa (i): 0,8% ao mês = 0,008 ao mês
Tempo de investimento (t): 12 meses

O montante M, é o capital inicial investido C, mais os juros J.

M = C + J

Os juros por sua vez são a multiplicação entre o capital, a taxa e o tempo.
J = C.i.t
J = 18 000.0,008.12 = 1 728

O montante será:

M = 18 000 + 1 728 = 19 728

2º passo: conhecer o rendimento no sistema de juros compostos.

No sistema de juros compostos o montante é calculado como:

Substituindo os valores:

3° passo: calcular a diferença entre os montantes sob juros simples e compostos.

19 806,10 - 19 728 = 78,10

Portanto, a diferença será de R$ 78,10.

Resposta: O sorvete custa R$ 4,50.

Chamando o preço do sorvete de x, temos que dois sorvetes serão 2x.

A equação fica da seguinte forma:

Para resolver uma equação do 1º grau, devemos isolar os termos com letras de um lado da igualdade.

Assim, cada sorvete custou R$ 4,50.

Resposta: 10 litros de gasolina e 20 litros de álcool.

Quando temos dois valores desconhecidos, precisamos de duas equações para resolver um sistema.

Queremos saber quantos litros de álcool (a) e de gasolina (g) foram abastecidos.

Equação do preço

Equação da quantidade

Sabemos que o total de litros foi 30, dessa forma:

Utilizando o método da substituição, isolamos g na equação II.

g = 30 - a

Substituímos o valor de g, na equação I e resolvemos para a.

Assim, foram abastecidos 20 litros de álcool. Para determinar a quantidade de gasolina, basta substituir na equação II.

g + a = 30
g + 20 = 30
g = 30 - 20
g = 10

Portanto, 10 litros de gasolina foram abastecidos.

Considerando a área da piscina mais a área da calçada, temos:

Área da calçada = 52 m²
Área da piscina = 12 x 12 = 144 m²

Área total = 52 + 144 = 196 m²

Se olharmos para o quadrado exterior, da calçada, suas dimensões laterais são:

Medida do lado = x + 12 + x = 2x +12

A área total pode ser obtida pelo produto dos lados e, é igual a 196 m².

Usamos a propriedade distributiva da multiplicação para multiplicar todos os termos nos parênteses.

Juntando os termos semelhantes:

Trazendo 340 para o primeiro membro da equação:

Para determinar a largura x da calçada, devemos resolver a equação do segundo grau, isto é, determinar suas raízes.

Uma equação do segundo grau tem a forma .

Os termos desta equação do segundo grau são:

a = 4
b = 48
c = -52

Como todos os coeficientes são divisíveis por 4, podemos simplificar a equação:

a = 4 / 4 = 1
b = 48 / 4 = 12
c = -52 / 4 = -13

O discriminante (delta) da equação é igual a:

Utilizando a Fórmula de Bhaskara:

Substituindo os valores:

Como se trata de uma medida, descartamos a raiz x1, pois é negativa.

Desta forma, a largura da calçada é de 1 m.

a) C(x) = 20 000 + 8,5x

b)

O gráfico mostra que mesmo para nenhum óculos produzido o custo é de R$ 20 000. A partir daí, o custo aumenta de forma linear, a uma taxa de R$ 8,50 por óculos produzido.

c) R$ 28,50.

Passo 1: calcular o custo para produzir 1 000 óculos.

Substituindo na função, o custo para fabricar 1 000 óculos é de:

Passo 2: calcular o preço de cada óculos para que o custo seja pago.

Portanto, para que o custo se pague, será preciso vender os 1 000 óculos, por R$ 28,50 cada.

Resposta: a piscina estará cheia em 12 h com a nova vazão.

Com a vazão habitual, 86 400 L são enchidos em três dias, ou, 72 h.

24 x 3 = 72

A vazão é:

Aumentando a vazão em seis vezes, está será de:

1 200 x 6 = 7 200 L / h

Pela propriedade fundamental das proporções, multiplicando cruzado:

Portanto, a piscina estará cheia em 12 h com a nova vazão.

O comprimento de uma circunferência é calculado pela relação:

Substituindo os valores, temos:

Este é um valor aproximado pois, o número é irracional, por isso possui infinitas casas decimais e, estamos considerando apenas as duas primeiras casas após a vírgula.

Resposta: O ângulo mede 101°.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Dessa forma, no triângulo ABD temos:

53° + 90° + x = 180°
x = 180° - 90° - 53°
x = 37°

No triângulo BDC, temos:

90° + 26° + y = 180°
y = 180° - 90° - 26°
y = 64°

Portanto, a medida do ângulo é:

Resposta: 4,74 unidades de comprimento.

Para determinar a distância entre quaisquer dois pontos no plano cartesiano, utilizamos o Teorema de Pitágoras.

Utilizando o Teorema de Pitágoras que diz: " O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos".

Onde a hipotenusa é h e os catetos são:

5 - 1 = 4
e
2 - 1 = 1

Sendo assim, a distância entre os pontos A e B é . Aproximando a raiz quadrada temos: 4,12 unidades de comprimento.

Resposta: o volume é de, aproximadamente 329 cm³.

O espaço vazio é o volume do cilindro menos os volumes das bolas.

Espaço vazio = volume do cilindro - 3x volume de uma bola

1º passo: determinar o raio e a altura do cilindro.

Raio: como o diâmetro do cilindro coincide com o diâmetro das bolas de beisebol, o raio do cilindro também é o mesmo das bolas.

raio = diâmetro / 2
raio = 7,6 / 2 = 3,8 cm

Altura: a altura do cilindro é igual a três diâmetros das bolas.

altura do cilindro = 3 x diâmetro de uma bola.
altura do cilindro = 3 x 7,6 = 22,8 cm

2º passo: determinar o volume do cilindro.

Volume do cilindro = área da base vezes a altura

Como a base é uma circunferência, sua área é:

Dessa forma, o volume do cilindro é:

Substituindo os valores

3º passo: calcular o volume das esferas.

Substituindo os valores:

Como são três bolas:

3 x 219,488 = 658,464 cm³

4º passo: subtrair do volume do cilindro, o volumes das bolas.

Espaço vazio = volume do cilindro - volume das bolas
Espaço vazio = 987,696 cm³ - 658,464 cm³

Espaço vazio = 329,232 cm³

Desta forma, o espaço vazio que sobra no cilindro é de, aproximadamente, 329 cm³.