Exercícios sobre Fórmula de Bhaskara

Rafael C. Asth

Professor de Matemática e Física

Resolva a lista de exercícios sobre fórmula de Bhaskara e tire suas dúvidas com exercícios resolvidos e comentados.

Fórmula de Bhaskara

$x com 1 subscrito igual a numerador menos b espaço mais espaço raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 espaço. espaço a fim da fração x com 2 subscrito espaço igual a espaço numerador menos b espaço menos espaço raiz quadrada de incremento sobre denominador 2 espaço. espaço a fim da fração$

Onde: $incremento igual a b ao quadrado espaço menos espaço 4 espaço. espaço a espaço. espaço c$

a é o coeficiente junto ao $x ao quadrado$ ,
b é o coeficiente junto ao $x$ ,
c é o coeficiente independente.

Exercício 1

Utilizando a fórmula de Bhaskara, determine as raízes da equação $2 x ao quadrado espaço menos espaço 7 x espaço mais espaço 3 espaço igual a espaço 0$ .

Ver Resposta

$O s espaço c o e f i c i e n t e s espaço s ã o dois pontos a igual a 2 b igual a menos 7 c igual a 3$

Determinando o delta

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito ao quadrado menos 4.2.3 incremento igual a 49 espaço menos espaço 24 incremento igual a 25$

Determinando as raízes da equação
$x com 1 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito espaço mais espaço raiz quadrada de 25 sobre denominador 2 espaço. espaço 2 fim da fração igual a numerador 7 espaço mais espaço 5 sobre denominador 4 fim da fração igual a 12 sobre 4 igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador menos parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito espaço menos espaço raiz quadrada de 25 sobre denominador 2 espaço. espaço 2 fim da fração igual a numerador 7 espaço menos espaço 5 sobre denominador 4 fim da fração igual a 2 sobre 4 igual a 1 meio$

Exercício 2

O conjunto solução que torna a equação $x ao quadrado espaço mais espaço 5 x espaço menos 14 espaço igual a espaço 0$ verdadeira é

a) S={1,7}
b) S={3,4}
c) S={2, -7}.
d) S={4,5}
e) S={8,3}

Ver Resposta

Resposta correta: c) S={2, -7}.

Os coeficientes são:
a = 1
b = 5
c = -14

Determinando o delta
$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 5 ao quadrado menos 4.1. parêntese esquerdo menos 14 parêntese direito incremento igual a 25 espaço mais espaço 56 incremento igual a 81$

Utilizando a fórmula de Bhaskara

$x com 1 subscrito igual a numerador menos 5 espaço mais espaço raiz quadrada de 81 sobre denominador 2 espaço. espaço 1 fim da fração igual a numerador menos 5 espaço mais espaço 9 sobre denominador 2 fim da fração igual a 4 sobre 2 igual a 2 x com 2 subscrito igual a numerador menos 5 espaço menos espaço raiz quadrada de 81 sobre denominador 2 espaço. espaço 1 fim da fração igual a numerador menos 5 espaço menos espaço 9 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 14 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 7$

O conjunto solução da equação é S={2, -7}.

Exercício 3

Determine os valores de x que satisfaçam a equação $parêntese esquerdo 4 espaço menos espaço x parêntese direito parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço x parêntese direito espaço igual a espaço 0$ .

Ver Resposta

Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

$parêntese esquerdo 4 menos x parêntese direito parêntese esquerdo 3 mais x parêntese direito igual a 0 12 espaço mais espaço 4 x espaço menos 3 x espaço menos x ao quadrado igual a 0 menos x ao quadrado mais x mais 12 igual a 0$

Os termos da equação do segundo grau são:

a = -1
b = 1
c = 12

Calculando o delta

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 1 espaço menos espaço 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito.12 incremento igual a 1 mais 48 incremento igual a 49$

Utilizando a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes da equação:

$x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos 1 espaço mais raiz quadrada de 49 sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador menos 1 espaço mais espaço 7 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a numerador 6 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a menos 3 x com 2 subscrito igual a numerador menos b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos 1 espaço menos raiz quadrada de 49 sobre denominador 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração igual a numerador menos 1 espaço menos espaço 7 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a numerador menos 8 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a 4$

Os valores de x que satisfazem a equação são x = -3 e x = 4.

Exercício 4

Sendo a seguinte equação do segundo grau, $3 x ao quadrado espaço mais espaço 2 x espaço menos espaço 8 espaço igual a 0$ , determine o produto entre as raízes.

Ver Resposta

Resposta correta: -8/3

Determinando as raízes da equação através da fórmula de Bhaskara.

Os coeficientes são:
a = 3
b = 2
c = -8

Delta
$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 2 ao quadrado menos 4.3. parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito incremento igual a 4 mais 96 incremento igual a 100$

Cálculo das raízes

$x com 1 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos 2 espaço mais raiz quadrada de 100 sobre denominador 2.3 fim da fração igual a numerador menos 2 espaço mais espaço 10 sobre denominador 6 fim da fração igual a 8 sobre 6 igual a 4 sobre 3 x com 2 subscrito igual a numerador menos b menos raiz quadrada de incremento sobre denominador 2. a fim da fração igual a numerador menos 2 espaço menos raiz quadrada de 100 sobre denominador 2.3 fim da fração igual a numerador menos 2 espaço menos espaço 10 sobre denominador 6 fim da fração igual a numerador menos 12 sobre denominador 6 fim da fração igual a menos 2$

Determinando o produto entre as raízes.

$x com 1 subscrito espaço. espaço x com 2 subscrito igual a 4 sobre 3 sinal de multiplicação parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito igual a 4 sobre 3 sinal de multiplicação numerador menos 2 sobre denominador 1 fim da fração igual a numerador menos 8 sobre denominador 3 fim da fração igual a menos 8 sobre 3$

Exercício 5

Classifique as equações que possuem raízes reais.

$I parêntese direito espaço espaço x ao quadrado menos espaço x espaço mais 1 igual a 0 I I parêntese direito espaço menos x ao quadrado mais 2 x mais 3 igual a 0 I I I parêntese direito espaço 4 x à potência de 2 espaço fim do exponencial mais 6 x mais 2 igual a 0 espaço I V parêntese direito espaço x ao quadrado sobre 2 mais 5 x espaço mais 12 espaço igual a 0$

Ver Resposta

Respostas corretas: II, III e IV.

Não há raízes reais em equações com $incremento$ negativo pois, na fórmula de Bhaskara ele é o radicando de uma raiz quadrada e, não existe raiz quadrada de números negativos nos números reais.

$I parêntese direito espaço espaço x ao quadrado menos espaço x espaço mais 1 igual a 0 p a r â m e t r o s espaço a espaço igual a espaço 1 b espaço igual a espaço menos 1 c espaço igual a espaço 1 incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado menos 4.1.1 incremento igual a 1 menos 4 incremento igual a menos 3$

Delta negativo, portanto I não possui solução real.

$I I parêntese direito espaço menos x ao quadrado mais 2 x mais 3 igual a 0 a igual a menos 1 b igual a 2 c igual a 3 incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 2 ao quadrado menos 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito.3 incremento igual a 4 mais 12 incremento igual a 16$

Delta positivo, portanto II possui solução real.

$I I I parêntese direito espaço 4 x à potência de 2 espaço fim do exponencial mais 6 x mais 2 igual a 0 espaço a igual a 4 b igual a 6 c igual a 2 incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 6 ao quadrado menos 4.4.2 incremento igual a 36 espaço menos espaço 32 incremento igual a 4$

Delta negativo, portanto III não possui resolução real.

$I V parêntese direito espaço x ao quadrado sobre 2 mais 5 x espaço mais 12 espaço igual a 0 a igual a 1 meio b igual a 5 c igual a 12 incremento igual a 5 ao quadrado menos 4.1 meio.12 incremento igual a 25 espaço menos espaço 24 incremento igual a 1$

Delta positivo, portanto IV possui solução real.

Exercício 6

O seguinte gráfico é determinado pela função do segundo grau $x ao quadrado menos x espaço menos espaço c espaço igual a espaço 0$ . O parâmetro c, indica o ponto de intersecção da curva com o eixo y. As raízes x1 e x2 são os números reais que, quando substituídos na equação a tornam verdadeira, ou seja, os dois lados da igualdade serão iguais a zero. Com base nas informações e no gráfico, determine o parâmetro c.

Ver Resposta

Resposta correta: c = -2.

Objetivo
Determinar c.

Resolução

As raízes são os pontos em que a curva corta o eixo x, das abcissas. Desta forma, as raízes são:

$x com 1 subscrito igual a menos 1 espaço x com 2 subscrito igual a 2$

Os parâmetros são:

$a espaço igual a espaço 1 b espaço igual a espaço menos 1$

A fórmula de Bhaskara é uma igualdade que relaciona todos estes parâmetros.

$x espaço igual a espaço numerador menos b espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de b ao quadrado menos 4. a. c fim da raiz sobre denominador 2. a fim da fração$

Para determinar o valor de c, basta isolá-lo na fórmula e, para isto, vamos arbitrar uma das raízes, utilizando a de maior valor, por consequência o valor positivo do delta.

$x com 2 subscrito igual a numerador menos b mais raiz quadrada de b ao quadrado menos 4. a. c fim da raiz sobre denominador 2. a fim da fração$

$2. a. x com 2 subscrito igual a menos b mais raiz quadrada de b ao quadrado menos 4. a. c fim da raiz 2. a. x com 2 subscrito espaço mais espaço b igual a raiz quadrada de b ao quadrado menos 4. a. c fim da raiz$

Neste ponto, elevamos os dois lados da equação ao quadrado para retirar a raiz do delta.

$parêntese esquerdo 2. a. x com 2 subscrito mais b parêntese direito ao quadrado igual a parêntese esquerdo raiz quadrada de b ao quadrado menos 4. a. c fim da raiz parêntese direito ao quadrado espaço parêntese esquerdo 2. a. x com 2 subscrito mais b parêntese direito ao quadrado igual a espaço b ao quadrado menos 4. a. c parêntese esquerdo 2. a. x com 2 subscrito mais b parêntese direito ao quadrado menos b ao quadrado igual a menos 4. a. c numerador parêntese esquerdo 2. a. x com 2 subscrito mais b parêntese direito ao quadrado menos b ao quadrado sobre denominador menos 4. a fim da fração igual a c$

Substituindo os valores numéricos:

$numerador parêntese esquerdo 2. a. x com 2 subscrito mais b parêntese direito ao quadrado menos b ao quadrado sobre denominador menos 4. a fim da fração igual a c numerador parêntese esquerdo 2.1.2 menos 1 parêntese direito ao quadrado menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado sobre denominador menos 4.1 fim da fração igual a c numerador parêntese esquerdo 4 menos 1 parêntese direito ao quadrado menos 1 sobre denominador menos 4 fim da fração igual a c numerador 3 ao quadrado menos 1 sobre denominador menos 4 fim da fração igual a c numerador 9 menos 1 sobre denominador menos 4 fim da fração igual a c numerador 8 sobre denominador menos 4 fim da fração igual a c menos 2 igual a c$

Desta forma, o parâmetro c é -2.

Exercício 7

(Prefeitura de São José dos Pinhais - PR 2021) Assinale a alternativa que traga uma afirmação correta da maior das soluções da equação:

$reto x ao quadrado espaço mais espaço 2 reto x espaço menos espaço 15 espaço igual a espaço 0 espaço$

a) É ímpar.
b) É negativo.
c) É múltiplo de 4.
d) É um quadrado perfeito.
e) É igual a zero.

Ver Resposta

Resposta correta: a) É ímpar.

Parâmetros da equação:

a = 1
b = 2
c = -15

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 2 ao quadrado menos 4.1. parêntese esquerdo menos 15 parêntese direito incremento igual a 4 mais 60 incremento igual a 64$

$x com 1 subscrito igual a numerador menos 2 espaço mais espaço raiz quadrada de 64 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 2 espaço mais espaço 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a 6 sobre 2 igual a 3 x com 2 subscrito igual a numerador menos 2 espaço menos espaço raiz quadrada de 64 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 2 espaço menos espaço 8 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 10 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 5$

Sendo a maior solução da equação, 3, é um número ímpar.

Exercício 8

(PUC - 2016)

Considere um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, com b > c, cujos lados obedeçam a essa regra. Se a + b + c = 90, o valor de a . c, é

a) 327
b) 345
c) 369
d) 381

Ver Resposta

Resposta correta: c) 369.

Os termos entre parênteses equivalem aos lados a, b e c do triângulo retângulo.

O enunciado também fornece que a + b + c = 90, dessa forma, substitui-se os termos da tríade pitagórica. Se tratando de uma soma, a ordem não importa.

$a espaço mais espaço b espaço mais c espaço igual a espaço 90 numerador m ao quadrado menos 1 sobre denominador 2 fim da fração mais m mais numerador m ao quadrado mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 90 numerador m ao quadrado menos 1 sobre denominador 2 fim da fração mais numerador 2 m sobre denominador 2 fim da fração mais numerador m ao quadrado mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 180 sobre 2 m ao quadrado menos 1 mais 2 m mais m ao quadrado mais 1 igual a 180 2 m ao quadrado mais 2 m igual a 180 2 m ao quadrado mais 2 m menos 180 igual a 0 m ao quadrado mais m menos 90 igual a 0$

Resolvendo a equação do segundo grau para determinar m:

Os coeficientes são,
a = 1
b = 1
c = -90

$incremento igual a b ao quadrado menos 4. a. c incremento igual a 1 menos 4.1. parêntese esquerdo menos 90 parêntese direito incremento igual a 1 mais 360 incremento igual a 361$

$m com 1 subscrito igual a numerador menos 1 mais raiz quadrada de 361 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 1 mais 19 sobre denominador 2 fim da fração igual a 18 sobre 2 igual a 9 m com 2 subscrito igual a numerador menos 1 menos raiz quadrada de 361 sobre denominador 2.1 fim da fração igual a numerador menos 1 menos 19 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos 20 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 10$

Como se trata de uma medida, desconsideraremos m2, pois não existe medida negativa.

Substituindo o valor 9 nos termos:

$numerador m ao quadrado menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 9 ao quadrado menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 81 menos 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 80 sobre 2 igual a 40$

$m espaço igual a espaço 9$

$numerador m ao quadrado mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 9 ao quadrado mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador 81 mais 1 sobre denominador 2 fim da fração igual a 82 sobre 2 igual a 41$

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é o maior lado, logo a = 41. O menor lado é o c, de acordo com o enunciado, logo, c = 9.

Desta forma, o produto é:

$a espaço. espaço c espaço igual a espaço 41 espaço. espaço 9 espaço igual a espaço 369$

Exercício 9

Fórmula de Bhaskara e planilha eletrônica

(CRF-SP - 2018) A fórmula de Bhaskara é um método para encontrar as raízes reais de uma equação do segundo grau fazendo uso apenas de seus coeficientes. Vale lembrar que coeficiente é o número que multiplica uma incógnita em uma equação. Em sua forma original, a fórmula de Bhaskara é dada pela seguinte expressão:

$começar estilo tamanho matemático 18px x igual a numerador menos b mais ou menos raiz quadrada de b ao quadrado menos 4. a. c fim da raiz sobre denominador 2. a fim da fração fim do estilo$

Discriminante é a expressão presente dentro da raiz na fórmula de Bhaskara. É comumente representado pela letra grega Δ (Delta) e recebe esse nome pelo fato de discriminar os resultados de uma equação da seguinte maneira: Assinale a alternativa que transcreve corretamente a fórmula Δ = b2 – 4.a.c na célula E2.

a) =C2*(C2-4)*B2*D2.

b) =(B2^B2)-4*A2*C2.

c) =POTÊNCIA(C2;2)-4*B2*D2.

d) =POTÊNCIA(C2;C2)-4*B2*D2.

Ver Resposta

Resposta correta: c) =POTÊNCIA(C2;2)-4*B2*D2.

A equação do delta deve ser digitada na célula E2 (coluna E e linha 2). Por isto, os parâmetros são todos da linha 2.

Em uma planilha eletrônica toda fórmula começa com o símbolo de igualdade =.

Como a equação do delta começa com $b ao quadrado$ , na planilha, a fórmula de possuir uma potência, assim, descartamos as opções a) e b).

Na planilha o parâmetro b está na célula C2 e, é o valor que está nesta célula que deve ser elevado ao quadrado.

A construção da função potência em uma planilha eletrônica fica assim:

1) Para chamar a função potência, digita-se: =POTÊNCIA

2) A base e o expoente vem logo em seguida, entre parênteses, separados com ponto e vírgula ;

3) Primeiro a base, depois o expoente.

Desta forma a função fica:

$igual a P O T Ê N C I A parêntese esquerdo C 2 ponto e vírgula 2 parêntese direito menos 4 asterisco B 2 asterisco D 2$

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