Os números complexos são números que apresentam a forma , onde a representa a parte real de z e a parte imaginária corresponde a b, sendo i a unidade imaginária.
Questão 1
Qual o resultado obtido com a realização da soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i?
a) 2 + 3i e 1 – i
b) 3 + 2i e -4 – i
c) 4 + 3i e 2 – i
d) 1 + 2i e -3 – i
Reposta correta: c) 4 + 3i e 2 – i.
Operação de soma:
z1 + z2 = (a + c, b + d)
Na forma algébrica, temos:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Portanto:
Operação de subtração:
z1 – z2 = (a – c, b – d)
Na forma algébrica, temos:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Portanto:
Sendo assim, a soma e a subtração dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i são, respectivamente, 4 + 3i e 2 - i.
Questão 2
Qual a forma algébrica de z no caso 3z = z - (- 8 + 6i)?
a) z = 4 – 2i
b) z = 4 – 3i
c) z = 2 – 2i
d) z = 1 – 2i
Reposta correta: b) z = 4 – 3i.
A forma algébrica de z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:
z = x + yi
Onde:
x é a parte real de z
y é a parte imaginária de z
Portanto:
Logo, a forma algébrica de z no caso 3z = z - (-8 + 6i) é z = 4 – 3i.
Questão 3
O resultado -5 - 5i é obtido realizando qual das operações abaixo com os números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = -2 + i? (Lembre-se que i2 = -1).
a) z1 + z2
b) z1 –z2
c) z1z2
Resposta correta: c) z1z2.
Para encontrar a resposta correta, vamos realizar as operações apresentadas nas alternativas.
a) z1 + z2
b) z1 -z2
c) z1z2
Sendo assim, o resultado -5 - 5i é obtido pela multiplicado de z1 e z2.
Questão 4
O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)
a) 3024
b) 4096
c) 5082
d) 1294
Resposta correta: b) 4096.
Podemos representar z8 como (z2)4, pois 2.4 = 8.
Portanto, vamos começar encontrando o valor de z2.
Agora, calculamos (z2)4.
Portanto, se z = 2 - 2i então z8 é igual a 4096.
Questão 5
Quais os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5? (Lembre-se que i2 = -1).
a) -2 + i e -2 – i
b) -1 + i e -1 – i
c) -2 + i e -1 + i
d) -1 + 2i e -1 + i
Resposta correta: a) -2 + i e -2 - i.
Para resolver a equação x2 + 4x + 5 utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
Como a = 1, b = 4 e C = 5, temos:
Portanto, os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5 são -2 + i e -2 - i.
Questão 6
Quais os valores de x para que o número complexo z = x + (x2 - 1)i seja um número real?
a) x = 1
b) x = 3
c) x = 4
d) x = 2
Resposta correta: a) x = 1.
Um número complexo é formado por:
Portanto, para um número complexo ser real é necessário que a parte imaginária seja nula. Sendo assim, para z = x + (x2 - 1)i ser um número real x2-1 deve ser igual a 0.
x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = 1
Questão 7
Quais os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja verdadeira?
a) x = 4 e y = 6
b) x = 2 e y = 6
c) x = 4 e y = 7
d) x = 5 e y = 9
Resposta correta: a) x = 4 e y = 6.
Sendo dois números complexos z1 = (a, b) e z2 = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = d. Isso porque eles possuem partes reais e imaginárias idênticas. Assim:
a + bi = c + di quando a = c e b = d
Então, para 2x + (y – 1)i = 8 + 5i, temos:
Portanto, os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja verdadeira devem ser 4 e 6, respectivamente.
Questão 8
Qual o resultado da divisão ? (Lembre-se que i2 = -1).
a) 2 – 4i
b) 3 – 5i
c) 5 – 2i
d) 2 – i
Resposta correta: b) 3 - 5i.
Para efetuar a divisão de dois números complexos devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.
Então, se z = a + bi, logo z = a – bi
Portanto, o resultado da divisão é 3 - 5i, conforme a letra b.
Questão 9
(UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.
Resposta correta: – 2 + 18i
Primeiro, devemos calcular o valor de a.c
Agora, calculamos a.c + b
Portanto, se a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , então o valor de a.c + b é igual a – 2 + 18i.
Questão 10
(FURG) Se u = 1 – 2i é um número complexo e , seu conjugado, então z = u2 + 3 é igual a:
a) – 6 – 2i
b) 2i
c) – 6
d) 8 + 2i
e) – 6 + 2i
Resposta correta: b) 2i.
Primeiramente, devemos calcular o valor de u2.
Se u = 1 – 2i então o seu conjunto é = 1 + 2i e 3 = 3.(1+2i) = 3+6i
Agora, calculamos z = u2 + 3
Portanto, o resultado é 2i, conforme a letra b.
Questão 11
(UECE - 2011) Sejam W e V, respectivamente, os conjuntos das raízes, no universo dos números complexos, das equações e . Se X = W ∪ V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a
Nota: i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1.
a) 20.
b) -20.
c) 4i.
d) –4i.
Resposta correta: b) -20.
Resolução
Passo 1: determinar W
Utilizando a fórmula de Bhaskara.
a = 1
b = -2
c = -1
Passo 2: determinar V
A equação é um polinômio de quarto grau e, para resolvê-lo, podemos fazer , reduzindo para uma equação do segundo grau.
a = 1
b = 13
c = 36
Como , temos:
Para y1
Para y2
Passo 3: determinar X
X é a união de W e V.
Passo 4: elevar cada elemento de X ao quadrado.
Passo 5: somar os quadrados dos elemento de X
Conclusão
A resposta é a letra b, -20.
Questão 12
(UFRGS - 2019)
Dados os números complexos z1 = (2, -1) e z2 = (3 , x), sabe-se que z1 ⋅ z2 ∈ R. Então x é igual a
a) − 6.
b) − 3/2.
c) 0.
d) 3/2.
e) 6.
Resposta correta: d) 3/2.
Colocamos os números complexos na sua forma algébrica.
Z1 = 2 - i
Z2 = 3 - xi
Realizando o produto Z1 . Z2
Para que o produto Z1 . Z2 seja um número real, o coeficiente de i deve ser igual a zero.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
, onde a representa a parte real de z e a parte imaginária corresponde a b, sendo i a unidade imaginária.
1
? (Lembre-se que i2 = -1).
, seu conjugado, então z = u2 + 3
e 
. Se X = W ∪ V, então, a soma dos quadrados dos elementos de X é igual a
, reduzindo para uma equação do segundo grau.
