Exercícios sobre tabela-verdade (resolvidos)

Passo 1: identificar as proposições simples.

A proposição composta é: Pedro viaja e Ana estuda. Podemos separá-las em proposições menores:

P: Pedro viaja

Q: Ana estuda

Passo 2: identificar o operador lógico entre as proposições simples.

As duas proposições estão conectadas pelo “e”, sendo o conectivo lógico da conjunção. Seu símbolo é o"".

Reescrevendo a proposição original em texto, agora em símbolos, temos:

Passo 3: construir a negação da proposição.

Segundo a Lei de Morgan, a negação de uma conjunção: é a inversão do conectivo para uma disjunção , negando cada uma das proposições simples.

Observação: o símbolo significa negação.

Em simbologia de lógica, temos:

Do lado esquerdo, o símbolo antes do parenteses indica que negaremos a proposição .

O lado direito da igualdade realizamos o passo a passo: negar cada proposição simples, alterando o conectivo de "e" , para "ou" .

Assim, em texto temos:

Pedro não viaja ou Ana não estuda.

Passo 1: determinar as premissas, ou seja, as proposições simples.

p: Alice vai ao cinema

q: Bob não vai ao cinema

r: Carlos estuda

s: Daniela não estuda

Logo, a proposição composta é formada por quatro simples.

Passo 2: determinar o número de linhas.

Devemos elevar a base 2 ao expoente 4, por ser o número de proposições simples.

Assim, a tabela possuirá 16 linhas.

Passo 1: determinar o número de linhas na tabela.

A proposição composta ¬(P∨Q)→¬Q possui duas proposições simples: P e Q. Assim, o número de linhas é: .

Passo 2: construir a tabela.

Devemos ter uma coluna para cada proposição simples e uma para cada operação.

Passo 3: preencher as colunas das proposições simples.

Cada coluna de proposição simples deve ser preenchida com verdadeiros, alternando com falsos na mesma quantidade.

O n é o número de proposições (no caso desta questão, 2) e o k, é um número que varia de 1 até n.

Para a primeira coluna:

n = 2 e k = 1

Assim, preenchemos com V, V, F, F.

Para a segunda coluna:

n = 2 e k = 2

Logo, a segunda coluna fica: V, F, V, F.

Passo 4: preencher as colunas das operações lógicas.

Passo 5: análise e conclusão.

A proposição ¬(P ∨ Q)→¬Q é verdadeira para todas as combinações de valores de P e Q.

Como todas as possibilidades são verdadeiras, a proposição ¬(P ∨ Q)→¬Q é uma tautologia.

A tautologia tem como condição o valor lógico de uma proposição composta ser sempre verdadeira, independente das combinações de valores de suas proposições simples.

O símbolo é de uma operação de condição. Esta é uma operação do tipo: se ... então.

A parte antes da seta é o antecedente, "se algo acontece", neste caso: (p∧¬q).

A parte posterior a seta é o consequente, "então algo acontece", no caso: r.

A proposição só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em todos os outros casos, a proposição será verdadeira.

Precisamos verificar os casos em que a proposição composta é falsa..

Caso em que a proposição composta (p∧¬q)→r, é falsa.

Neste caso, (p∧¬q) deve ser verdadeiro e r, falso.

Na proposição antecedente há uma conjunção "∧" (e lógico). Essa operação só determina o valor verdadeiro quando p e ¬q são verdadeiras.

Note que ¬q é a negação de q. A operação de negação inverte o valor lógico de uma sentença, deste modo, q deve ser falso.

Em resumo, para que (p∧¬q)→r seja falso, temos:

• p: verdadeiro
• q: falso (para que ¬q seja verdadeiro)
• r: falso

Pela análise das alternativas a resposta correta é a opção c:

c) para a proposição composta ser falsa, é necessário que p seja verdadeiro, q seja falso e r, seja falso.

Para p→(q ∨ r) ser falso, p deve ser verdadeiro e (q ∨ r) deve ser falso.

Por sua vez, (q ∨ r) só é falso quando q e r são falsos.

Isso só acontece quando p é verdadeiro e ambos q e r são falsos, porque a disjunção q ∨ r só é falsa quando ambos os operandos são falsos.

Preenchendo a tabela: