A regra de três é um procedimento usado para a resolução de problemas que envolvem grandezas proporcionais.
Pelo fato de ter uma enorme aplicabilidade, é muito importante saber resolver problemas utilizando essa ferramenta.
Aproveite os exercícios comentados e questões de concursos resolvidas para verificar seus conhecimentos.
Exercício 1
Para alimentar o seu cão, uma pessoa gasta 10 kg de ração a cada 15 dias. Qual a quantidade total de ração consumida por semana, considerando que por dia é sempre colocada a mesma quantidade de ração?
Resolução:
Devemos sempre começar identificando as grandezas e as suas relações. É muito importante identificar corretamente se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
Neste exercício as grandezas quantidade total de ração consumida e o número de dias são diretamente proporcionais, pois quanto mais dias maior será a quantidade total gasta.
Para melhor visualizar a relação entre as grandezas, podemos usar setas. O sentido da seta aponta para o maior valor de cada grandeza.
As grandezas cujos pares de setas apontam para o mesmo sentido, são diretamente proporcionais e as que apontam em sentidos contrários, são inversamente proporcionais.
Vamos então resolver o exercício proposto, conforme o esquema abaixo:
Resolvendo a equação, temos:
Assim, a quantidade de ração consumida por semana é de aproximadamente 4,7 kg.
Uma torneira enche um tanque em 6 h. Quanto tempo o mesmo tanque levará para encher, se forem utilizadas 4 torneiras com a mesma vazão da torneira anterior?
Resolução:
Neste problema, as grandezas envolvidas serão número de torneiras e tempo. Contudo, é importante observar que quanto maior o número de torneiras, menor será o tempo para encher o tanque.
Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Neste caso, ao escrever a proporção, devemos inverter uma das razões, conforme mostramos no esquema abaixo:
Em uma empresa, 50 funcionários, produzem 200 peças, trabalhando 5 horas por dia. Se o número de funcionários cair pela metade e o número de horas de trabalho por dia passar para 8 horas, quantas peças serão produzidas?
Resolução:
As grandezas indicadas no problema são: número de funcionários, número de peças e horas trabalhadas por dia. Portanto, temos uma regra de três composta (mais de duas grandezas).
Neste tipo de cálculo, é importante analisar separadamente o que acontece com a incógnita (x), quando mudamos o valor das outras duas grandezas.
Fazendo isso, percebemos que o número de peças será menor se reduzirmos o número de funcionários, portanto, essas grandezas são diretamente proporcionais.
O número de peças aumenta se aumentarmos o número de horas de trabalho por dia. Portanto, também são diretamente proporcionais.
No esquema abaixo, indicamos esse fato através das setas, que apontam para o sentido crescente dos valores.
(Epcar - 2016) Duas máquinas A e B de modelos diferentes, mantendo cada qual sua velocidade de produção constante, produzem juntas n peças iguais, gastando simultaneamente 2 horas e 40 minutos. A máquina A funcionando sozinha, mantendo sua velocidade constante, produziria, em 2 horas de funcionamento, n/2 dessas peças.
É correto afirmar que a máquina B, mantendo sua velocidade de produção constante, produziria também n/2 dessas peças em
a) 40 minutos.
b) 120 minutos.
c) 160 minutos.
d) 240 minutos.
Como o tempo total de produção é 2h e 40 min, e já sabemos que a máquina A produz sozinha em 2 horas n/2 peças, então vamos descobrir quanto só ela produz nos 40 min restantes. Para isso, vamos utilizar a regra de três.
Resolvendo a regra de três:
Essa é a quantidade de peças produzidas em 40 min pela máquina A, portanto em 2 h e 40 min ela sozinha produz:
Podemos então, calcular a quantidade produzida pela máquina B em 2h e 40 min, subtraindo da quantidade produzida pelas duas máquinas (n) da quantidade produzida pela máquina A:
Agora, é possível calcular quanto tempo a máquina B levaria para produzir n/2 peças. Para isso, vamos fazer novamente uma regra de três:
Resolvendo a regra de três, temos:
Assim, a máquina B produzirá n/2 peças em 240 min.
(Cefet - MG - 2015) Em uma empresa, 10 funcionários produzem 150 peças em 30 dias úteis. O número de funcionários que a empresa vai precisar para produzir 200 peças, em 20 dias úteis, é igual a
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
Esse problema envolve regra de três composta, pois temos três grandezas: número de funcionários, número de peças e número de dias.
Observando as setas, identificamos que o número de peças e o número de funcionários são grandezas
diretamente proporcionais. Já dias e número de funcionários são inversamente proporcionais.
Assim, para resolver a regra de três, temos que inverter o número de dias.
(Enem - 2013) Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada.O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.
A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
Essa questão é de regra de três composta, sendo as grandezas envolvidas a capacidade do reservatório, o número de ralos e o número de dias.
Pelas posição das setas, observamos que a capacidade e o número de ralos são diretamente proporcionais. Já o número de dias e o número de ralos são inversamente proporcionais, vamos inverter então o número de dias:
Assim, serão necessários 5 ralos.
Alternativa c: 5
Exercício 7
(UERJ - 2014) Observe no gráfico o número de médicos ativos registrados no Conselho Federal de Medicina (CFM) e o número de médicos atuantes no Sistema Único de Saúde (SUS), para cada mil habitantes, nas cinco regiões do Brasil.
O SUS oferece 1,0 médico para cada grupo de x habitantes.
Na região Norte, o valor de x é aproximadamente igual a:
a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515
Para resolver a questão, iremos considerar as grandezas número de médicos do SUS e número de habitantes da região Norte. Portanto, devemos retirar essa informação no gráfico apresentado.
Fazendo a regra de três com os valores indicados, temos:
Resolvendo a regra de três, temos:
Logo, o SUS disponibiliza aproximadamente, 1 médico para cada 1515 habitantes na região Norte.
(Enem - 2017) Às 17 h 15 min começa uma forte chuva, que cai com intensidade constante. Uma piscina em forma de um paralelepípedo retângulo, que se encontrava inicialmente vazia, começa a acumular a água da chuva e, às 18 horas, o nível da água em seu interior alcança 20 cm de altura. Nesse instante, é aberto o registro que libera o escoamento da água por um ralo localizado no fundo dessa piscina, cuja vazão é constante. Às 18 h 40 min a chuva cessa e, nesse exato instante, o nível da água na piscina baixou para 15 cm.
O instante em que a água dessa piscina terminar de escoar completamente está compreendido entre
a) 19 h 30 min e 20 h 10 min
b) 19 h 20 min e 19 h 30 min
c) 19 h 10 min e 19 h 20 min
d) 19 h e 19 h 10 min
e) 18 h 40 min e 19 h
As informações nos indicam que em 45 min de chuva, a altura de água da piscina passou para 20 cm. Depois desse tempo, foi aberto o registro do ralo, entretanto continuou chovendo durante 40 min.
Vamos então, calcular a altura de água que foi adicionada na piscina neste intervalo de tempo, através da seguinte regra de três:
Calculando essa regra de três, temos:
Agora, vamos calcular a quantidade de água que escoou, já que o ralo foi aberto. Essa quantidade será igual a soma de água que foi adicionada, menos a quantidade que ainda existe na piscina, ou seja:
Portanto, escoou 205/9 cm de água desde que o ralo foi aberto (40 min). Agora, vamos calcular quanto tempo será necessário para escoar a quantidade que ficou na piscina, após ter parado de chover.
Para isso, vamos usar mais uma regra de três:
Calculando, temos:
Assim, a piscina ficará vazia em aproximadamente 26 min. Somando esse valor ao instante que se encerra a chuva, ela irá se esvaziar aproximadamente às 19 h 6 min.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
GOUVEIA, Rosimar. Exercícios de Regra de Três.Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-regra-de-tres/. Acesso em:
