Exercícios de regra de três composta (respostas explicadas)
Rafael C. Asth
Professor de Matemática e Física
A regra de três composta é utilizada para resolver problemas matemáticos que envolvem mais de duas grandezas.
Utilize as questões a seguir para testar seus conhecimentos e tire suas dúvidas com a resolução comentada.
Questão 1
Em uma oficina de artesanato, 4 artesãs produzem 20 bonecas de pano em 4 dias. Se 8 artesãs trabalharem por 6 dias, quantas bonecas serão produzidas?
Resposta correta: 60 bonecas de pano.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Número de artesãs
Dias trabalhados
Bonecas produzidas
A
B
C
4
4
20
8
6
X
Através da tabela, podemos notar que:
A e C são diretamente proporcionais: quanto maior o número de artesãs, mais bonecas serão produzidas.
B e C são diretamente proporcionais: quanto mais dias trabalhados, um maior número de bonecas serão produzidas.
2º passo: Encontrar o valor de x.
Observe que as grandezas A e B são diretamente proporcionais à grandeza C. Logo, o produtos dos valores de A e B é proporcional aos valores de C.
Assim, serão produzidas 60 bonecas.
Questão 2
Dona Lúcia decidiu produzir ovos de chocolate para vender na Páscoa. Ela e suas duas filhas, trabalhando 3 dias na semana, produzem 180 ovos. Se ela convidar mais duas pessoas para ajudar e trabalharem um dia a mais, quantos ovos serão produzidos?
Resposta correta: 400 ovos de chocolate.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Número de pessoas trabalhando
Número de dias trabalhados
Número de ovos produzidos
A
B
C
3
3
180
5
4
X
Através da tabela, podemos notar que:
B e C são diretamente proporcionais: dobrando o número de dias, dobra-se a quantidade de ovos produzidos.
A e C são diretamente proporcionais: dobrando o número de pessoas trabalhando, dobra-se a quantidade de ovos produzidos.
2º passo: Encontrar o valor de x.
Sendo a grandeza C diretamente proporcional às grandezas A e B, os valores de C são diretamente proporcionais ao produto dos valores de A e B.
Logo, cinco pessoas trabalhando quatro dias por semana produzirão 400 ovos de chocolate.
Em uma obra, 10 homens concluíram um dos trabalhos em 6 dias, fazendo 8 horas diárias. Se apenas 5 homens estiverem trabalhando, quantos dias levarão para o mesmo trabalho ser concluído com execução de 6 horas por dia?
Resposta correta: 16 dias.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Homens trabalhando
Dias trabalhados
Horas trabalhadas
A
B
C
10
6
8
5
X
6
Através da tabela, podemos notar que:
A e B são inversamente proporcionais: quanto menos homens trabalhando, mais dias serão necessários para realizar o trabalho.
B e C são inversamente proporcionais: quanto menos horas trabalhando, mais dias serão necessários para realizar o trabalho.
2º passo: Encontrar o valor de x.
Para os cálculos, as duas grandezas que são inversamente proporcionais tem suas razões escritas na forma inversa.
Sendo assim, serão necessários 16 dias para executar o mesmo trabalho.
Três funcionários em uma empresa de promoção de eventos, preparam uma festa para 50 convidados em 3 dias. Em quantos dias 8 funcionários prepararão uma festa para 320 convidados?
Resposta: dias.
Passo 1: escrever as grandezas envolvidas na questão.
n° de funcionários
n° de convidados
dias
Passo 2: trazer os dados fornecidos pela questão, colocando um x para o valor desconhecido.
n° de funcionários
n° de convidados
dias
3
50
3
8
320
x
Passo 3: analisar a proporcionalidade da grandeza com valor desconhecido, no caso os dias, em relação às outras grandezas.
Dias em relação ao número de funcionários.
Quanto maior o número de funcionários, menor o número de dias para terminar o preparo do evento.
Portanto, estas grandezas são inversamente proporcionais e a coluna nº de funcionários deve ser invertida.
Dias em relação ao nº de convidados.
Quanto maior o número de convidados, mais demorará para se produzir o evento, maior o número de dias.
Portanto, estas grandezas são diretamente proporcionais e a coluna nº de convidados permanece igual.
Passo 4: escrever a proporção.
Escrevemos a razão com a incógnita (valor desconhecido), igual ao produto das outras grandezas.
Deve-se inverter as razões de grandezas inversamente proporcionais.
(Repare que o oito foi para cima, para o numerador e o três para baixo).
Passo 5: resolver a proporção.
Primeiro multiplicamos as razões.
Neste ponto, aplica-se a propriedade fundamental das proporções. Na prática, multiplicamos cruzado.
Conclusão
O número de dias para 8 funcionários prepararem um evento para 320 convidados é de 7,2 dias.
Questão 5
Em uma indústria de sapatos, duas máquinas produzem180 solas em 2 dias. Quantas máquinas seriam necessárias para produzir 870 solas em 3 dias?
Resposta: Seriam necessárias pelo menos 7 máquinas.
Passo 1: escrever as grandezas envolvidas na questão.
máquinas
solas
dias
Passo 2: trazer os dados fornecidos pela questão, colocando um x para o valor desconhecido.
máquinas
solas
dias
2
180
2
x
870
3
Passo 3: analisar a proporcionalidade da grandeza com valor desconhecido, no caso as máquinas, em relação às outras grandezas.
Máquinas em relação ao número de solas.
Quanto maior o número de máquinas, maior o número de solas.
Portanto, estas grandezas são diretamente proporcionais e a coluna quantidade de solas permanece igual.
Máquinas em relação ao número de dias.
Quanto maior o número de máquinas, menor o número de dias.
Portanto, estas grandezas são inversamente proporcionais e a coluna nº de dias deve ser invertida.
Passo 4: escrever a proporção.
Escrevemos a razão com a incógnita (valor desconhecido), igual ao produto das outras grandezas.
Deve-se inverter as razões de grandezas inversamente proporcionais.
(Repare que o três foi para cima, para o numerador, e o dois para baixo).
Passo 5: resolver a proporção.
Primeiro multiplicamos as razões.
Neste ponto, aplica-se a propriedade fundamental das proporções. Na prática, multiplicamos cruzado.
Conclusão
Seriam necessárias pelo menos 7 máquinas.
No arredondamento do 6,4, pela matemática, a resposta seria 6. No entanto, 6 máquinas não são suficientes. Como não podemos ter 6,4 máquinas, utilizamos 7.
Questão 6
(PUC-Campinas) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas seria:
a) 1000
b) 2000
c) 4000
d) 5000
e) 8000
Alternativa correta: c) 4000.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Máquinas
Peças produzidas
Dias trabalhados
Horas diárias
A
B
C
D
5
500
5
5
10
X
10
10
Através da tabela, podemos notar que:
A e B são diretamente proporcionais: quanto mais máquinas trabalhando, um maior número de peças será produzido.
C e B são diretamente proporcionais: quanto mais dias trabalhados, um maior número de peças será produzido.
D e B são diretamente proporcionais: quanto mais horas as máquinas trabalharem diariamente, um maior número de peças será produzido.
2º passo: Encontrar o valor de x.
Como a grandeza B é diretamente proporcional às grandezas A, C e D, os valores de C são diretamente proporcionais ao produto dos valores de A, C e D.
Assim, o número de peças produzido seria 4000.
Questão 7
(FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150,000 impressões. Em quantos dias 3 impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100,000 impressões?
a) 20
b) 15
c) 12
d) 10
e) 5
Alternativa correta: e) 5.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Número de impressoras
Número de horas
Número de dias
Número de impressões
A
B
C
D
1
6
30
150 000
3
8
X
100 000
Através da tabela, podemos notar que:
A e C são inversamente proporcionais: quanto mais impressoras, em menos dias serão feitas as impressões.
B e C são inversamente proporcionais: quanto mais horas trabalhadas, menor o número de dias para fazer as impressões.
C e D são diretamente proporcionais: quanto menos dias trabalhados, menor o número de impressões.
2º passo: Encontrar o valor de x.
Para realizar o cálculo, a grandeza proporcional D tem sua razão mantida, enquanto que as grandezas inversamente proporcionais, A e B, devem ter suas razões invertidas.
Logo, aumentando o número de impressoras e de horas trabalhadas, em apenas 5 dias serão feitas 100 000 impressões.
Questão 8
(Enem/2009) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha.
Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
a) 920 kg
b) 800 kg
c) 720 kg
d) 600 kg
e) 570 kg
Alternativa correta: a) 920 kg.
1º passo: criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Número de alunos
Dias de campanha
Horas diárias trabalhadas
Alimentos arrecadados (kg)
A
B
C
D
20
10
3
12 x 10 = 120
20 + 30 = 50
30 - 10 = 20
4
X
Através da tabela, podemos notar que:
A e D são diretamente proporcionais: quanto mais alunos ajudando, maior a quantidade de alimentos arrecadados.
B e D são diretamente proporcionais: como ainda falta o dobro de dias de arrecadação para completar os 30 dias, maior a quantidade de alimentos arrecadados.
C e D são diretamente proporcionais: quanto mais horas trabalhadas, maior a quantidade de alimentos arrecadados.
2º passo: encontrar o valor de x.
Como as grandezas A, B e C são diretamente proporcionais à quantidade de alimentos arrecadados, o valor de X pode ser encontrado multiplicando suas razões.
3º passo: calcular a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo.
Agora, somamos os 800 kg calculados aos 120 kg arrecadados no início da campanha.
800 + 120 = 920
Conclusão
Portanto, temos que 920 kg de alimentos foram arrecadados ao final do prazo estipulado.
Questão 9
A quantidade de feno utilizada para alimentar 10 cavalos em um estábulo durante 30 dias é de 100 kg. Se mais 5 cavalos chegarem ao local, em quantos dias metade desse feno seria consumido?
Resposta correta: 10 dias.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Cavalos
Feno (kg)
Dias
A
B
C
10
100
30
10 + 5 = 15
X
Através da tabela, podemos notar que:
A e C são grandezas inversamente proporcionais: aumentando o número de cavalos, o feno seria consumido em menos dias.
B e C são grandezas diretamente proporcionais: diminuindo a quantidade de feno, ele seria consumido em menos tempo.
2º passo: Encontrar o valor de x.
Como a grandeza A é inversamente proporcional à quantidade de feno, o cálculo deve ser feito com sua razão inversa. A grandeza B, por ser diretamente proporcional, deve ter sua razão para efetuar a multiplicação.
Logo, metade do feno seria consumido em 10 dias.
Questão 10
Um automóvel, em uma velocidade de 80 km/h, percorre uma distância de 160 km em 2h. Quanto tempo o mesmo automóvel levaria para percorrer 1/4 do percurso com uma velocidade 15% maior que a velocidade inicial?
Resposta correta: 0,44 h ou 26,4 minutos.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Velocidade (km/h)
Distância (km)
Tempo (h)
A
B
C
80
160
2
X
Através da tabela, podemos notar que:
A e C são inversamente proporcionais: quanto maior a velocidade do automóvel, menor o tempo para realizar o percurso.
B e C são diretamente proporcionais: quanto menor a distância, menor o tempo para realizar o percurso.
2º passo: Encontrar o valor de x.
A grandeza B é diretamente proporcional à grandeza C e, por isso, sua razão é mantida. Como A é inversamente proporcional, sua razão deve ser invertida.
Assim, 1/4 do percurso seria realizado em 0,44 h ou 26,4 min.
Questão 11
(Enem/2017) Uma indústria tem um setor totalmente automatizado. São quatro máquinas iguais, que trabalham simultânea e ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas. Após esse período, as máquinas são desligadas por 30 minutos para manutenção. Se alguma máquina precisar de mais manutenção, ficará parada até a próxima manutenção.
Certo dia, era necessário que as quatro máquinas produzissem um total de 9 000 itens. O trabalho começou a ser feito às 8 horas. Durante uma jornada de 6 horas, produziram 6 000 itens, mas na manutenção observou-se que uma máquina precisava ficar parada. Quando o serviço foi finalizado, as três máquinas que continuaram operando passaram por uma nova manutenção, chamada manutenção de esgotamento.
Em que horário começou a manutenção de esgotamento?
a) 16 h 45 min
b) 18 h 30 min
c) 19 h 50 min
d) 21 h 15 min
e) 22 h 30 min
Alternativa correta: b) 18 h 30 min.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Máquinas
Produção
Horas
A
B
C
4
6000
6
3
9000 - 6000 = 3000
X
Através da tabela, podemos notar que:
A e C são inversamente proporcionais: quanto mais máquinas, menos horas serão necessárias para completar a produção.
B e C são diretamente proporcionais: quanto mais peças forem necessárias, mais horas levarão para serem produzidas.
2º passo: Encontrar o valor de x.
A grandeza B é diretamente proporcional à grandeza C e, por isso, sua razão é mantida. Como A é inversamente proporcional, sua razão deve ser invertida.
3º passo: Interpretação dos dados.
O trabalho começou a ser feito às 8 horas. Como as máquinas trabalham simultânea e ininterruptamente durante uma jornada de 6 horas, quer dizer que o término da jornada ocorreu às 14h (8h + 6h), quando iniciou-se a parada de manutenção (30 min).
As três máquinas que continuaram funcionando retornaram ao trabalho às 14h30 para mais 4h de trabalho, de acordo com o que foi calculado na regra de três, para produzir mais 3000 peças. A manutenção de esgotamento ocorreu após o término desse período às 18h30 (14h30 + 4 h).
Questão 12
(Vunesp) Numa editora, 8 digitadores, trabalhando 6 horas por dia, digitaram 3/5 de um determinado livro em 15 dias. Então, 2 desses digitadores foram deslocados para um outro serviço, e os restantes passaram a trabalhar apenas 5 horas por dia na digitação desse livro. Mantendo-se a mesma produtividade, para completar a digitação do referido livro, após o deslocamento dos 2 digitadores, a equipe remanescente terá de trabalhar ainda:
a) 18 dias
b) 16 dias
c) 15 dias
d) 14 dias
e) 12 dias
Alternativa correta: b) 16 dias.
1º passo: Criar uma tabela com as grandezas e analisar os dados.
Digitadores
Horas
Digitação
Dias
A
B
C
D
8
6
15
8 - 2 = 6
5
X
Através da tabela, podemos notar que:
A e D são inversamente proporcionais: quanto mais digitadores, menos dias serão necessários para digitar o livro.
B e D são inversamente proporcionais: quanto mais horas trabalhadas, menos dias serão necessários para digitar o livro.
C e D são diretamente proporcionais: quanto menos páginas faltarem para digitar, menos dias serão necessários para terminar a digitação.
2º passo: Encontrar o valor de x.
A grandeza C é diretamente proporcional à grandeza D e, por isso, sua razão é mantida. Como A e B são inversamente proporcionais, suas razões devem ser invertidas.
Logo, a equipe remanescente terá de trabalhar ainda 16 dias.
Questão 13
(Enem 2015) Uma confecção possuía 36 funcionários, alcançando uma produtividade de 5 400 camisetas por dia, com uma jornada de trabalho diária dos funcionários de 6 horas. Entretanto, com o lançamento da nova coleção e de uma nova campanha de marketing, o número de encomendas cresceu de forma acentuada, aumentando a demanda diária para 21 600 camisetas. Buscando atender essa nova demanda, a empresa aumentou o quadro de funcionários para 96. Ainda assim, a carga horária de trabalho necessita ser ajustada.
Qual deve ser a nova jornada de trabalho diária dos funcionários para que a empresa consiga atender a demanda?
a) 1 hora e 30 minutos.
b) 2 horas e 15 minutos.
c) 9 horas.
d) 16 horas.
e) 24 horas
Resposta: c) 9 horas.
Passo 1: escrever as grandezas envolvidas na questão.
funcionários
camisetas
horas
Passo 2: trazer os valores fornecidos pelo problema, usando x para o valor desconhecido.
funcionários
camisetas
horas
36
5 400
6
96
21 600
x
Passo 3: analisar a proporcionalidade da grandeza com valor desconhecido, no caso horas, em relação às outras grandezas.
Horas em relação ao número de camisetas.
Quanto maior o número de horas trabalhadas, maior o número de camisetas fabricadas.
Estas grandezas são diretamente proporcionais e a razão permanece igual.
Horas em relação ao número de funcionários.
Quanto maior o número de funcionários, menor o número de horas necessárias.
Estas grandezas são inversamente proporcionais e a razão deve ser invertida.
Passo 4: escrever a proporção.
Escrevemos a razão com a incógnita (valor desconhecido), igual ao produto das outras grandezas.
Deve-se inverter as razões de grandezas inversamente proporcionais.
Professor de Matemática licenciado, pós-graduado em Ensino da Matemática e da Física e Estatística. Atua como professor desde 2006 e cria conteúdos educacionais online desde 2021.
ASTH, Rafael. Exercícios de regra de três composta (respostas explicadas).Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/regra-de-tres-composta-exercicios/. Acesso em:
(Repare que o oito foi para cima, para o numerador e o três para baixo).
(Repare que o três foi para cima, para o numerador, e o dois para baixo).
(a razão de funcionários foi invertida).
